Bölme Bölünebilme Kuralları

A. BÖLME A, B, C, K birer doğal sayı ve B  0 olmak üzere, bölme işleminde,

A. BÖLME


A, B, C, K birer doğal sayı ve B  0 olmak üzere,





bölme işleminde,

• A ya bölünen, B ye bölen, C ye bölüm, K ya kalan denir.
  


• A = B . C + K dır.
  


• Kalan, bölenden küçüktür. (K < B)
  


• Kalan, bölümden (C den) küçük ise, bölen (B) ile bölümün (C) yeri değiştirilebilir.
  


• K = 0 ise, A sayısı B ile tam bölünebiliyor denir.
  

B. BÖLÜNEBİLME KURALLARI


1. 2 İle Bölünebilme


Birler basamağındaki rakamı çift olan sayılar 2 ile tam bölünür.


Tek sayıların 2 ile bölümünden kalan 1 dir.


2. 3 İle Bölünebilme


Rakamlarının sayısal değerleri toplamı 3 ün katı olan sayılar 3 ile tam bölünür.


Bir sayının 3 ile bölümünden kalan, rakamlarının toplamının 3 ile bölümünden kalana eşittir.


3. 4 İle Bölünebilme


Bir sayının onlar basamağındaki rakam ile birler basamağındaki rakamın (son iki basamak) belirttiği sayı, 4 ün katı olan sayılar 4 ile tam bölünür.


... abc sayısının 4 ile bölümünden kalan bc nin (son iki basamak) 4 ile bölümünden kalana eşittir.


... abc sayısının 4 ile bölümünden kalan


c + 2 . b nin 4 ile bölümünden kalana eşittir.


4. 5 İle Bölünebilme


Birler basamağındaki rakam 0 veya 5 olan sayılar 5 ile tam bölünür.


Bir sayının 5 ile bölümünden kalan, o sayının birler basamağındaki rakamın 5 ile bölümünden kalana eşittir.


5. 7 İle Bölünebilme


(n + 1) basamaklı anan-1 ... a₄a₃a₂a₁a₀ sayısının 7 ile tam bölünebilmesi için,


k Z olmak üzere,


(a₀ + 3a₁ + 2a₂) – (a₃ + 3a₄ + 2a₅) + ... = 7k 


olmalıdır.


 Birler basamağı a0, onlar basamağı a1, yüzler basamağı a2, ... olan sayının 7 ile bölümünden kalan (a₀ + 3a₁ + 2a₂) – (a₃ + 3a₄ + 2a₅) + ... işleminin sonucunun 7 ile bölümünden kalana eşittir.


6. 8 İle Bölünebilme


Yüzler basamağındaki, onlar basamağındaki ve birler basamağındaki rakamların (son üç rakamın) belirttiği sayı 8 in katı olan sayılar 8 ile tam bölünür.


3000, 3432, 65104 sayıları 8 ile tam bölünür.


 Birler basamağı c, onlar basamağı b, yüzler basamağı a, ... olan sayının 8 ile bölümünden kalan c + 2 . b + 4 . a toplamının 8 ile bölü-münden kalana eşittir.


7. 9 İle Bölünebilme


Rakamlarının toplamı 9 un katı olan sayılar 9 ile tam bölünür.


Bir sayının 9 ile bölümünden kalan, o sayının rakamlarının toplamının 9 ile bölümünden kalana eşittir.


8. 10 İle Bölünebilme


Birler basamağındaki rakamı 0 (sıfır) olan sayılar 10 ile tam bölünebilir. Bir sayının birler basamağındaki rakam o sayının 10 ile bölümünden kalandır.


9. 11 İle Bölünebilme


(n + 1) basamaklı anan–1 ... a₄a₃a₂a₁a₀ sayısının 11 ile tam bölünebilmesi için


(a₀ + a₂ + a₄ + ...) – (a₁ + a₃ + a₅ + ...)... = 11 . k 


ve k Z olmalıdır.


 (n + 1) basamaklı anan–1 ... a₄a₃a₂a₁a₀ sayı-sının 11 ile bölümünden kalan


(a₀ + a₂ + a₄ + ...) – (a₁ + a₃ + a₅ + ...)... işleminin sonucunun 11 ile bölümünden kalana eşittir.

Aralarında asal iki sayıya bölünebilen bir sayı, bu iki sayının çarpımına da tam bölünür.  2 ve 3 ile tam bölünen sayılar 6 ile de bölünür.  3 ve 4 ile tam bölünen sayılar 12 ile de bölünür.

C. BÖLEN KALAN İLİŞKİSİ


A, B, C, D, E, K₁, K₂ uygun koşullarda birer doğal sayı olmak üzere,


A nın C ile bölümünden kalan K₁ ve


B nin C ile bölümünden kalan K₂ olsun.


Buna göre,

•  A . B nin C ile bölümünden kalan K₁ . K₂ dir.
  


•  A ± B nin C ile bölümünden kalan K₁ ± K₂ dir.
  


•  D . A nın C ile bölümünden kalan D . K₁ dir.
  


•  A^E nin C ile bölümünden kalan K₁^E dir.
  

Burada kalan değerler bölenden (C den) büyük ise, tekrar C ile bölünerek kalan bulunur.


D. ÇARPANLAR İLE BÖLÜM


Bir A doğal sayısı B . C ile tam bölünüyorsa A sayısı B ve C doğal sayılarıyla da bölünebilir. Fakat bu ifadenin karşıtı (A sayısı B ile ve C ile tam bölünüyorsa A sayısı B . C ile tam bölünür.) her zaman doğru değildir.

• 144 sayısı 2 . 6 = 12 ile tam bölünür ve 144 sayısı 2 ile ve 6 ile de tam bölünür.
  


• 6 sayısı 2 ile ve 6 ile tam bölünür. Fakat 6 sayısı 2 . 6 = 12 ile tam bölünemez.
  

E. BİR TAM SAYININ TAM BÖLENLERİ


Bir tam sayının, asal sayıların çarpımı biçiminde yazıl-masına bu sayının asal çarpanlarına ayrılması denir.


a, b, c birbirinden farklı asal sayılar ve m, n, k pozitif tam sayılar olmak üzere,

A = a^m . bⁿ . c^k
olsun.

• A yı tam bölen asal sayılar a, b, c dir.
  


• A sayısının pozitif tam bölenlerinin sayısı:
  (m + 1) . (n + 1) . (k + 1) dir.
  


• A sayısının pozitif tam bölenlerinin ters işaret-lileri de negatif tam bölenidir.
  


• A sayısının tam sayı bölenleri sayısı:
  

2 . (m + 1) . (n + 1) . (k + 1) dir.

• A sayısının tam sayı bölenleri toplamı 0 (sıfır) dır.
  


• A sayısının pozitif tam bölenlerinin toplamı :
  

          

• A sayısının asal olmayan tam sayı bölenlerinin sayısı, A nın tam sayı bölenlerinin sayısından A nın asal bölenlerinin sayısı çıkarılarak bulunur.
  


• A nın asal olmayan tam sayı bölenleri toplamı – (a + b + c) dir.
  


•  A sayısından küçük A ile aralarında asal olan sayıların sayısı:
  

          

•  A sayısını pozitif tam sayı bölenlerinin çarpımı: