A. TANIM a,b IR ve olmak üzere, a + ib biçiminde-ki sayİlara karmaşık sayılar denir. Karmaşık sayılar kümesi ile gösterilir. z = a + i...
A. TANIM
a,b IR ve olmak üzere, a + ib biçiminde-ki sayİlara karmaşık sayılar denir.
Karmaşık sayılar kümesi ile gösterilir.
karmaşık sayısında a ya bu sayının gerçel (reel) kısmı ve b ye de bu sayının sanal (imajiner) kısmı denir. Buna göre,
z = a + ib Re (z) = a ve İm(z) = b dir.
1) z = a + ib sayısının düzlemdeki görüntüsü (a, b) noktasıdır.
2) Karmaşık sayılar, düzlemdeki noktalar olduğundan sıralama özelliği yoktur.
B. SANAL BİRİMİN (i nin) KUVVETLERİ
n bir pozitif tam sayı ve i2 = – 1 olmak üzere,
i nin herhangi bir kuvveti bulunurken, kuvvetin 4 ile bölümünden kalan i nin üssü olarak yazılır.
Buna göre, x y(mod 4) ise,
ix = iy dir. (i = -1)
C. KARMAŞIK SAYININ EŞLENİĞİ
z = x + iy karmaşık sayısının eşleniği
z = x – iy dir.
1) z karmaşık sayısının eşleniği olan –z sayısı reel eksene göre simetriktir.
2) Bir karmaşık sayının eşleniğinin eşleniği kendisidir.
D. KARMAŞIK SAYILARDA DÖRT İŞLEM
1. Toplama ve Çıkarma
karmaşık sayıları verilmiş olsun.
Buna göre,
olur.
2. Çarpma
karmaşık sayıları verilmiş olsun.
Buna göre,
z1 . z2 = (a + ib) (c + id)
= a . c + a . id + ib . c + ib . id
= ac + iad + ibc + i2bd
= ac + iad + ibc – bd
= (ac – bd) + i(ad + bc) olur.
3. Bölme
karmaşık sayıları verilmiş olsun.
Buna göre,
olur.
1) z1 ± z2 sayısının eşleniği –z1 ± –z2 dir.
2)
z1 . z2 sayısının eşleniği –z1 . –z2 dir.
3)
sayısının eşleniği dir.
4)
z + –z = 2 . Re(z) dir.
5)
z – –z = 2 . İm(z) dir.
6)
z sayısının toplama işlemine göre tersi – z dir.
7)
z sayısının çarpma işlemine göre tersi tir.
(z
0 + i0)
8)
z1 . (z2 ± z3) = z1 . z2 ± z1 . z3 tür.
E. KARMAŞIK SAYILARIN MUTLAK
DEĞERİ (MODÜLÜ)
Karmaşık düzlemde, bir karmaşık sayıya karşılık gelen noktanın başlangıç noktasına (orijine) uzaklığına bu sayının mutlak değeri ya da modülü denir.
z karmaşık sayısının modülü |z| ile gösterilir.
1) |z| = |– z| = |–z| = |iz| = |– iz|
2)
|z1 . z2| = |z1| . |z2|
3)
z2 ¹ 0 + i0 olmak üzere,
4)
|z1| – |z2| £ |z1 + z2| £ |z1| + |z2|
5)
z . –z = |z|2
6)
|zn| = |z|n
7)
z1 = a + ib
z2 = c + id
|z1 - z2|= (a - c)2 + (b - d)2 dir
olmak üzere, z1 ile z2 arasındaki uzaklık:
z, değişen değerler alan karmaşık sayı ve z1 sabit bir karmaşık sayı ve r pozitif gerçel sayı olmak koşuluyla
eşitliğini gerçekleyen z noktalarının kümesi, karmaşık düzlemde, merkezi z1 ve yarıçapı r olan çember belirtir.
1) z = x + iy olmak üzere,
|z| = r Ş x2 + y2 = r2 dir.
Şekildeki çember üzerinde bulunan bütün noktalar |z| = r koşulunu
sağlar.
2)
z = x + iy ve z1 = a + ib olmak üzere,
|z – z1|
r |x – a + i(y – b)|
r dir.
Şekildeki taralı bölgede bulunan bütün nok-talar, |z – z1|
r koşulunu
sağlar.
Eğer |z – z1| < r ise, çember üzerindeki noktaların belirttiği z sayıları
verilen eşitsiz-liği sağlamaz.
3)
z = x + iy
z1 = a + ib
olmak üzere,
|x + iy – (a + ib)| = |(x – a) + i(y – b)|
r
olur. |z – z1| r koşulunu sağlayan z sayıları, merkezi (a, b) ve yarıçapı r olan çembe-rin üzerindeki ve dışındaki bütün sayılardır.
Eğer |z – z1| > r ise, çember üzerindeki sayılar verilen koşulu sağlamaz.
a,b IR ve olmak üzere, a + ib biçiminde-ki sayİlara karmaşık sayılar denir.
Karmaşık sayılar kümesi ile gösterilir.
z = a + ib
karmaşık sayısında a ya bu sayının gerçel (reel) kısmı ve b ye de bu sayının sanal (imajiner) kısmı denir. Buna göre,
z = a + ib Re (z) = a ve İm(z) = b dir.
1) z = a + ib sayısının düzlemdeki görüntüsü (a, b) noktasıdır.
2) Karmaşık sayılar, düzlemdeki noktalar olduğundan sıralama özelliği yoktur.
B. SANAL BİRİMİN (i nin) KUVVETLERİ
n bir pozitif tam sayı ve i2 = – 1 olmak üzere,
- i4n = (i4)n = 1n = 1
- i4n+1 = i4n . i = i
- i4n+2 = i4n . i2 = – 1
- i4n+3 = i4n . i3 = – i dir.
i nin herhangi bir kuvveti bulunurken, kuvvetin 4 ile bölümünden kalan i nin üssü olarak yazılır.
Buna göre, x y(mod 4) ise,
ix = iy dir. (i = -1)
C. KARMAŞIK SAYININ EŞLENİĞİ
z = x + iy karmaşık sayısının eşleniği
z = x – iy dir.
1) z karmaşık sayısının eşleniği olan –z sayısı reel eksene göre simetriktir.
2) Bir karmaşık sayının eşleniğinin eşleniği kendisidir.
( –z ) = z dir.
D. KARMAŞIK SAYILARDA DÖRT İŞLEM
1. Toplama ve Çıkarma
z1 = a + ib
z2 = c + id
karmaşık sayıları verilmiş olsun.
Buna göre,
- z1 + z2 = a + ib + c + id = a + c + i(b + d)
- z1 – z2 = (a + ib) – (c + id) = a – c + i(b – d)
olur.
2. Çarpma
z1 = a + ib
z2 = c + id
karmaşık sayıları verilmiş olsun.
Buna göre,
z1 . z2 = (a + ib) (c + id)
= a . c + a . id + ib . c + ib . id
= ac + iad + ibc + i2bd
= ac + iad + ibc – bd
= (ac – bd) + i(ad + bc) olur.
| z . –z = (a + ib) (a – ib) = a2 + b2 dir. |
3. Bölme
z1 = a + ib
z2 = c + id
karmaşık sayıları verilmiş olsun.
Buna göre,
olur.
1) z1 ± z2 sayısının eşleniği –z1 ± –z2 dir.
2)
z1 . z2 sayısının eşleniği –z1 . –z2 dir.
3)
sayısının eşleniği dir.
4)
z + –z = 2 . Re(z) dir.
5)
z – –z = 2 . İm(z) dir.
6)
z sayısının toplama işlemine göre tersi – z dir.
7)
z sayısının çarpma işlemine göre tersi tir.
(z
0 + i0)
8)
z1 . (z2 ± z3) = z1 . z2 ± z1 . z3 tür.
E. KARMAŞIK SAYILARIN MUTLAK
DEĞERİ (MODÜLÜ)
Karmaşık düzlemde, bir karmaşık sayıya karşılık gelen noktanın başlangıç noktasına (orijine) uzaklığına bu sayının mutlak değeri ya da modülü denir.
z karmaşık sayısının modülü |z| ile gösterilir.
| | z=x+iy ise |z|=x2+y2 dir |
1) |z| = |– z| = |–z| = |iz| = |– iz|
2)
|z1 . z2| = |z1| . |z2|
3)
z2 ¹ 0 + i0 olmak üzere,
4)
|z1| – |z2| £ |z1 + z2| £ |z1| + |z2|
5)
z . –z = |z|2
6)
|zn| = |z|n
7)
z1 = a + ib
z2 = c + id
|z1 - z2|= (a - c)2 + (b - d)2 dir
olmak üzere, z1 ile z2 arasındaki uzaklık:
z, değişen değerler alan karmaşık sayı ve z1 sabit bir karmaşık sayı ve r pozitif gerçel sayı olmak koşuluyla
|z – z1| = r
eşitliğini gerçekleyen z noktalarının kümesi, karmaşık düzlemde, merkezi z1 ve yarıçapı r olan çember belirtir.
1) z = x + iy olmak üzere,
|z| = r Ş x2 + y2 = r2 dir.
Şekildeki çember üzerinde bulunan bütün noktalar |z| = r koşulunu
sağlar.
2)
z = x + iy ve z1 = a + ib olmak üzere,
|z – z1|
r |x – a + i(y – b)|
r dir.
Şekildeki taralı bölgede bulunan bütün nok-talar, |z – z1|
r koşulunu
sağlar.
Eğer |z – z1| < r ise, çember üzerindeki noktaların belirttiği z sayıları
verilen eşitsiz-liği sağlamaz.
3)
z = x + iy
z1 = a + ib
olmak üzere,
|x + iy – (a + ib)| = |(x – a) + i(y – b)|
r
olur. |z – z1| r koşulunu sağlayan z sayıları, merkezi (a, b) ve yarıçapı r olan çembe-rin üzerindeki ve dışındaki bütün sayılardır.
Eğer |z – z1| > r ise, çember üzerindeki sayılar verilen koşulu sağlamaz.
.png)