Lise Trigonometri Konu Özeti ve Formüller

TRİGONOMETRİ Yönlü Açı : Saat yelkovanının dönme yönünün tersine pozitif yön, saat yelkovanının dönme yönüne de negatif yön denir.       ...

TRİGONOMETRİ

Yönlü Açı : Saat yelkovanının dönme yönünün tersine pozitif yön, saat yelkovanının dönme yönüne de negatif yön denir.

Açı Ölçü Birimleri : Derece : Bir çemberin 360 da 1 ini gören merkez açının ölçüsü 1 derecedir. 1 derece 60 dakikadır. 1 dakika 60 saniyedir. 1o = 60¢ , 1¢= 60¢¢ Radyan : Bir çemberin, yarıçapının uzunluğundaki yayı gören merkez açı 1 radyandır. Grad : Bir çemberin 400 de 1 ini gören merkez açının ölçüsü 1 grattır.       Esas Ölçü : Derece cinsinden bir açının 360o ye bölümünden kalan, derece cinsinden esas ölçü, radyan cinsinden bir açının 2p ye bölümünden kalan, radyan cinsinden esas ölçü adını alır.   Trigonometrik Fonksiyonlar : Açının sinüsü ve kosinüsü: Birim çember üzerinde, AOP açısını gözönüne alalım. P noktasının apsisine açının kosinüsü, ordinatına da açının sinüsü denir.         x0 = cosa , y0 = sina Sonuç : P noktası çember üzerinde ve yarıçapı 1 birim olduğu için;     -1 £ cosa £ 1 veya cos : R ® [-1,1] dir.   Yani kosinüs fonksiyonunun tanım kümesi R, görüntü kümesi [-1,1] dir. Aynı şekilde;   -1 £ sina £ 1 veya sin : R ® [-1,1] dir.   Yani sinüs fonksiyonunun tanım kümesi R, görüntü kümesi [-1,1] dir. x0 = cosa ve y0 = sina olduğuna göre; cos2a + sin2a= 1 dir.   Açının tanjantı ve kotanjantı : Birim çemberin A noktasındaki teğetini inceleyelim. Bu durumda t bir reel sayı olmak üzere, T(1,t) noktası teğetin üzerindedir. T noktasının ordinatına AOT açısının tanjantı denir. t = tana dir. Sonuç : T(1,t) noktası teğet üzerindeki herhangi bir nokta için, t herhangi bir nokta olabilir. Dolayısıyla;      "a Î T={a ½aÎ IR ve a¹p/2 +kp, kÎ Z } için tan : T ® R dir. Yani tanjant fonksiyonunun tanım kümesi (p/2 +kp) hariç bütün gerçel sayılar, görüntü kümesi R dir. "a Î K={a ½aÎ IR ve a¹kp, kÎ Z } için cot : K ® R dir. Yani tanjant fonksiyonunun tanım kümesi (kp) hariç bütün gerçel sayılar, görüntü kümesi R dir.

BİRİM ÇEMBER : Merkezi orijinde olan ve yarıçapı 1 birim olan çemberdir. -1 Cos1 -1 Sin1 OAP üçgeninde ;     Cos = |OA| = Cos (+k2)  ve  Sin = |AP| =|OB|= Sin (+k2) x ekseni, Cosinüs ekseni y ekseni , Sinüs eksenidir. Analitik düzlemde trigonometrik fonksiyonların işaretleri Peiyodik Fonksiyonlar : ¦:A®B bir fonksiyon olsun. "x ÎA için ¦(x+T) =¦(x) eşitliğini sağlayan bir T gerçek sayısı varsa, ¦ fonksiyonuna periyodik fonksiyon, T gerçek sayısına da ¦' nin bir periyodu denir. T gerçek sayısının en küçüğüne ise esas periyodu denir. Buradan hareketle; k Î Z olmak üzere "aÎ IR için; cos(a + k.2p) = cosa ve sin(a + k.2p) = sina olduğundan sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının periyodu k.2p ve esas periyodu 2p dir. Aynı şekilde; k Î Z olmak üzere a¹p/2 +kp ve a Î IR için tan(a + k.p) = tana k Î Z olmak üzere a¹kp ve a Î IR için cot(a + k.p) = cota olduğundan tanjant ve kotanjant fonksiyonlarının periyodu k.p ve esas periyodu p dir.   ***    ve         m tek ise         m çift ise ***    ve    ,

Dik Üçgende Trigonometrik Oranlar: ABC dik üçgeninde trigonometrik oranlar Cos = = Sin              Sin = = Cos Tan = = Cot              Cot = = Tan Sec = = Csc               Csc = = Sec       30o , 45o , 60o nin trigonometrik oranları ABC eşkenar üçgeninde;  IABI=2br. , [AH] yükseklik olmak üzere ; AHC üçgeninde; Cos60o = = Sin30o Sin60o = = Cos30o Tan60o = = Cot30o Cot60o = = =Tan30o ABC ikizkenar dik üçgeninde ; Sin45o =Cos45o = = Tan45o = Cot45o = 1     açı 0 30 45 60 90 180 270 360 sin 0 1/2 Ö2 /2 Ö3 /2 1 0 -1 0 cos 1 Ö3 /2 Ö2 /2 1/2 0 -1 0 1 tan 0 1/Ö3 1 Ö3 tanımsız 0 tanımsız 0 cot tanımsız Ö3 1 1/Ö3 0 tanımsız 0 tanımsız

TRİGONOMETRİK FORMÜLLER

Trigonometrik bağıntılar 1) Cos2+Sin2= 1 2) Tan = 3) Cot = 4) Sec = 5) Csc = 6) TanCot = 1 7) 1 + Tan2= Sec2 8) 1 + Cot2= Csc2 Trigonometrik özdeşlikler Sin( -) = Cos                 Sin( + ) = Cos Cos( -) = Sin                 Cos( + ) = -Sin Tan( -) = Cot                 Tan( + ) = -Cot Cot( -) = Tan                 Cot( + ) = -Tan Sin( -) = -Cos                 Sin( + ) = -Cos Cos( -) = -Sin                 Cos( + ) = Sin Tan( -) = Cot                 Tan( + ) = -Cot Cot( -) = Tan                 Cot( + ) = -Tan Sin( - ) = Sin                  Sin( + ) = -Sin Cos( - ) = -Cos              Cos( + ) = -Cos Tan( - ) = -Tan               Tan( + ) = Tan Cot( - ) = -Cot                 Cot( + ) = Cot Sin( 2 - ) = Sin(-) = -Sin Cos( 2 - ) = Cos(-) =Cos Tan( 2 - ) = Tan(-) = -Tan Cot( 2 - ) = Cot(-) = -Cot  Cos, Sinüs ve Tanjant teoremleri    de : Cosinüs teoremi : a2 = b2 + c2 -2bcCosA Sinüs teoremi : = =   Tanjant teoremi : dir. A( ) = .a.b.SinC A( ) = u.r        (a+b+c=2u olmak üzere) A( ) =   Trigonometrik fonksiyonlarin birbiri cinsinden ifadesi : Cos x, Tan x ve Cot x in, Sin x cinsinden ifadesi :                  Sin x, Tan x ve Cot x in, Cos x cinsinden ifadesi :                  Sin x, Cos x ve Cot x in, Tan x cinsinden ifadesi :                    Sin x, Cos x ve Tan x in, Cot x cinsinden ifadesi :                  Toplam fark formülleri 1) Sin(+) = SinCos ± SinCos 2) Cos(+) = CosCos ± SinSin 3) Tan(+) = Yarım açı formülleri 1) Sin2 = 2SinCos 2) Cos2 = Cos2 - Sin2 = 2Cos2 - 1 = 1 - 2Sin2 3) Tan2 =     Not : Dönüşüm formülleri 1) Sin + Sin = 2Sin .Cos 2) Sin - Sin = 2Sin .Cos 3) Cos + Cos = 2Cos .Cos 4) Cos - Cos = 2Sin .Sin Bir üçgenin açılarının, sinüslerinin toplamının dönüşüm formülü : Bir üçgenin açılarının, cosinüslerinin toplamının dönüşüm formülü : Ters trigonometrik fonksiyonlar : Arcsin Fonksiyonu :   Arccos Fonksiyonu :             Arctan Fonksiyonu :            Arccot Fonksiyonu :                Trigonometrik denklemler:                     Kök formülleri :   Trigonometrik Denklemleri :   aÎ[-1,1] için cosx=a denkleminin çözümü : Denklemin [0,2p) aralığında bir kökü a ise, Ç={x½x=a+2kp veya x= -a +2kp, kÎZ} olur.   Örnek: Cosx=1/2 denkleminin çözüm kümesini bulalım. [0,2p) aralığında kosinüsü 1/2 olan gerçek sayılar p/3 ve -p/3 olduğu hatırlanırsa; Ç={x½x=p/3+2kp veya x=-p/3+2kp, kÎZ} olarak bulunur.       Örnek : Cosx=Ö2/2 denkleminin çözüm kümesini bulalım. [0,2p) aralığında kosinüsü Ö2/2 olan gerçek sayılar p/4 ve -p/4 olduğu hatırlanırsa; Ç={x½x=p/3+2kp veya x=-p/3+2kp, kÎZ} olarak bulunur.   aÎ[-1,1] için sinx=a denkleminin çözümü : Denklemin [0,2p) aralığında bir kökü a ise, Ç={x½x=a+2kp veya x= (p - a) +2kp, kÎZ} olur.   Örnek: sinx=Ö3/2 denkleminin çözüm kümesini bulalım. [0,2p) aralığında sinüsü Ö3/2 olan gerçek sayılar p/3 ve p-p/3 olduğu hatırlanırsa; Ç={x½x=p/3+2kp veya x=-p/3+2kp, kÎZ} olarak bulunur.   Örnek : sinx=0 denkleminin çözüm kümesini bulalım. [0,2p) aralığında sinüsü 0 olan gerçek sayılar 0 ve p olduğu hatırlanırsa; Ç={x½x=kp, kÎZ} olarak bulunur.   aÎR için tanx=a denkleminin çözümü : Denklemin [0,2p) aralığında bir kökü a ise, Ç={x½x=a+kp, kÎZ} olur.   Örnek: tanx=Ö3 denkleminin çözüm kümesini bulalım. [0,2p) aralığında sinüsü Ö3/2 olan gerçek sayılar p/3 ve p/3 +p olduğu hatırlanırsa; Ç={x½x=p/3+kp, kÎZ} olarak bulunur.   aÎR için cotx=a denkleminin çözümü : Denklemin [0,2p) aralığında bir kökü a ise, Ç={x½x=a+kp, kÎZ} olur.       Örnek :   Örnek : cosx+Ö3sinx=0 denklemini çözün. olur. Buradan çözüm kümesi; Ç={x: }

ÖRNEKLER

 

ÖRNEK:ÖYS-1981
tgx = olduğuna göre , x+y nin 0 ile arasındaki değeri kaç radyandır ?
A)      B)      C)      D)       E)
Çözüm :(Cevap A)
tgx =        tgx = x açısının tanjantı y açısının kotanjantına eşit olduğuna göre x+y' nin 0 ile arasındaki değeri:
ÖRNEK:ÖYS-1981
Yukarıdaki üçgende IADI=IBDI=ICDI ve TgB= 2 dir. Buna göre CotC nin değeri nedir ?
A)      B)       C)       D) 2       E) 3
Çözüm :(Cevap D)
Bir dik üçgende hipotenüse ait kenarortay, ayırdığı parçaların uzunluğuna eşit olduğundan m() = 90o   dir. Üçgenin iç açıları toplamı 180o olduğundan m() + m() = 90o    bulunur. Buna göre cot C = tg B = 2 dir.
ÖRNEK:ÖYS-1981
I. sin 85o II. tg 175o III. cos 260o IV. cotg 275o Yukarıdaki trigonometrik değerlerin işaretleri sırasıyla ne olur ?
A) +,-,+,-      B) -,-,-,+      C) +,-,-,+      D) -,-,-,-       E) +,-,-,-
Çözüm :(Cevap E)
I. bölgede sin > 0 II. bölgede tg < 0 III. bölgede cos < 0 IV. bölgede cotg < 0 olduğundan işaretler sırasıyla +,-,-,-    bulunur.
ÖRNEK:ÖYS-1982
Aşağıdakilerden hangisi sin40o a eşittir ?
A) sin220o      B) cos140o      C) sin50o      D) sin(-40o)      E) cos(-50o)
Çözüm :(Cevap E)
sin 220o = sin(180o+40o) = -sin40o cos 140o = cos(90o+50o) = -sin50o sin(-40o) = -sin40o cos(-50o) = cos50o =sin40o
ÖRNEK:ÖYS-1982
tgx = 2 olduğuna göre, cos2x - cosx.sinx ifadesinin değeri nedir ?
A) 1      B)-        C)-        D) 0       E)
Çözüm :(Cevap C)
Dik üçgen çizersek ;       tgx = 2 = Þ cos x = ,      sin x =     bulunur. cos2x - cosx.sinx = ( )2 - . = - = -
ÖRNEK:ÖYS-1983
Yukarıdaki şekilde m(AC) = 30o , m(BA) = 90o , IDBI=IDCI olduğuna göre   tg(DC) nin değeri kaçtır ?
A)       B)       C)      D)      E)2
Çözüm :(Cevap A)
30o nin karşısındaki kenara x dersek ;      tan (DC) = =    bulunur.
ÖRNEK:ÖYS-1984
Aşağıdakilerden hangisi   sin( - a)   ya özdeş değildir ?
A)sin( + a)      B)cos(2-a)      C) cos(-a)      D) cosa       E) sin(-a)
Çözüm :(Cevap E)
sin( - a) = cos a ,      sin( + a) = cos a cos(2-a) = cos(-a) = cos a   dır. Fakat sin(-a) = -sinacosa
ÖRNEK:ÖYS-1983
0 < x < ,      tan x =  olduğuna göre,   ifadesinin değeri kaçtır ?
A)       B)       C)       D)      E) 1
Çözüm :(Cevap A)
tan x = ise    sin x = ,      cos x =     bulunur. =   = sin x - cos x = - =
ÖRNEK:ÖYS-1985
a = sin5o b = sin85o c = sin105o olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur ?
A) a < b < c      B) a < c < b      C) b < a < c      D) b < c < a      E) c < b < a
Çözüm :(Cevap B)
sin105o = sin(180o - 75o) = sin75o 0o ile 90o arasında açı artarken açının sinüs değeri de artacağından sin5o < sin75o = sin105o < sin85o a < c < b ' dir.
ÖRNEK:
cos2(x-y)+sin2(x+y) nin değeri aşağıdakilerden hangisidir ?
A) 1+cos2xsin2y      B) 1+sin2xcos2y      C) 1+sin2xsin2y      D) 1+cos2xcos2y      E) 1-sin2xsin2y
Çözüm :(Cevap C)
sin2(x+y) = 1-cos2(x+y) olduğundan cos2(x-y)+sin2(x+y) = cos2(x-y)-cos2(x+y)+1 = [cos(x-y)-cos(x+y)]. [cos(x-y)+cos(x+y)]+1 cos a - cos b = -2sin ( ).sin( ) cos a + cos b = 2cos ( ).cos( ) Formülerini uygularsak ; cos2(x-y)+sin2(x+y) = -2sinx.sin(-y).2cosx.cos(-y) + 1 = 2sinxcosx.2sinycosy + 1 = sin2xsin2y + 1
ÖRNEK:ÖYS-1988
ABCD bir dikdörtgen, E noktası [CD] üzerinde, IABI=15birim, IADI=6birim, m(DE) = m(CB) = Yukarıdaki verilere göre tan nın değerlerinden biri nedir ?
A)       B)       C)       D)       E)
Çözüm :(Cevap B)
IECI=x dersek IDEI=15-x olur. EBC üçgeninden    tan = ,    ADE üçgeninden  tan = bulunur. Buna göre = Þ 36 = 15x - x2    denklemin köklerinden x=12 veya x=3' tür. tan = =     veya     tan = = 2   dir.
ÖRNEK:ÖYS-1988
sin95o , cos190o , tan210o işaretleri aşağıdakilerin hangisinde doğru olarak verilmiştir ?
		sin95o	cos190o	tan210o
A)		+	-	-
B)		-	-	+
C)		-	+	+
D)		+	+	-
E)		+	-	+
Çözüm :(Cevap E)
II. bölgede sin > 0 III. bölgede cos < 0 , tan > 0 olduğundan işaretler sırasıyla +, - , + ' dır.
ÖRNEK:ÖYS-1989
cos 36o = olduğuna göre, cos72o kaçtır ?
A)       B)       C)       D)       E)
Çözüm :(Cevap A)
Yarım açı formülünden ; cos2x = 2cos2x - 1    ise   cos72o =2cos236 - 1 = =
ÖRNEK:ÖYS-1991
= 1 olduğuna göre, cos2x aşağıdakilerden hangisine eşittir ?
A)       B)       C)       D)       E)
Çözüm :(Cevap A)
2sin4x = sin2x Þ 2.2sin2xcos2x=sin2x cos 2x =        ,       2cos2x - 1 =     ,       cos2x =
ÖRNEK:ÖYS-1992
= 2 denklemini sağlayan dar açı x aşağıdakilerden hangisidir ?
A) 15      B) 25      C) 30      D) 35      E) 45
Çözüm :(Cevap C)
= 2 Her iki tarafın karesini alırsak ; 1+sin2x = 6sin22x 6sin22x -sin2x-1=0 (3sin2x+1)(2sin2x-1)=0 Þ 3sin2x+1=0 veya 2sin2x-1=0 sin 2x = -     veya    sin 2x = x dar açı olduğundan pozitif değeri alırız. 2x = 30o       veya     2x = 150o   x =15o                      x = 75o
ÖRNEK:ÖYS-1994
cos x - sin x = olduğuna göre, cos2x in değeri aşağıdakilerden hangisidir ?
A)-       B) 1      C)       D)       E)
Çözüm :(Cevap C)
Oranlara göre dik üçgen çizersek ; Her iki tarafın karesini alırsak ; (cos x - sin x)2 = ( )2 cos2 x - 2cosxsinx + sin2x = cos2x = bulunur. 1 - sin2x = Þ sin2x =
ÖRNEK:ÖYS-1997
ABC bir üçgen,  m(BC) = 120o ,  IABI=4cm ,  |BC| = ,   IACI= x cm Yukarıdaki verilere göre, IACI = x kaç cm dir ?
A) 5      B) 6      C) 7      D) 8      E) 9
Çözüm :(Cevap A)
Cosinüs teoreminden ()2 =42 + x2 - 2.4.x.cos120o 61 = 16 + x2 - 8x. (- ) x2 + 4x - 45 = 0 x1 = -9     x2 = 5 Uzunluk negatif olamayacağından x = 5 ' tir.

 

 

BU ÇALIŞMANIN SİZLERE BAŞARI VE MUTLULUK GETİRMESİNİ TEMENNİ EDERİZ…