Paradoxlar Paradoxlar genellikle kendi kendilerinin tersi olan cümlelerdir. Paradoxlar mantık ya da matematik sistemi içerisinde çözümü kola...
Paradoxlar
Paradoxlar genellikle kendi kendilerinin tersi olan cümlelerdir. Paradoxlar mantık ya da matematik sistemi içerisinde çözümü kolay olmayan çatlaklar ortaya çıkarırlar. Gerçek bir paradox mantıklı çelişkiler içerir. En yaygın bilinen berber paradoxu şöyledir:
Sadece bir berberi olan bir kasabadaki berber kasabada kendi kendini tarş etmeyen tüm erkekleri traş ettiğini gururla söylemektedir. Peki berberi kim traş etmektedir?
Elbetteki berber kendi kendine traş olmaktadır, fakat bu gösterir ki berber kendi kendini traş edebilen birini de traş etmiş durumdadır. Eğer kendi kendini traş etmezse hem ömür boyu sakllı dolaşır hem de kendini traş etmeyen herkesi traş ettiği savı çürür.
Öğrenciler her zaman matematiğin yanlışsız olduğunu kabul ederler. O yüzden aşağıdaki gibi alternatif cevaplar üretirler:
Berberin uzun sakalı bıyığı vardır ve traş olmayı zaten istememektedir.
Berber 6 yaşındadır ve traş olmaya ihtiyacı yoktur.
Berber kadın olduğundan traş olmaz.
Elbetteki bunlar sorunun çözümü değildir. Bunlar sorunun çözümü olsaydı, soru paradox olmaktan çıkar bir bulmaca olurdu. Gerçek biraz daha derinde saklıdır. Buradaki fikir "sınıfın tamamının sınıfın bir üyesi olamayacağı" temel prensibini çiğnemektedir. Ünlü Russel paradoxuda bu cins bir paradoxtur:
- 1. Bu kitap 597 sayfadır.
- 2. Bu kitabın yazarı Konfiçyus'tur.
- 3. 1, 2 ve 3 numaralı cümleler yanlıştır.
3 numaralı soru "sınıfın tamamını" kastettiği içinsınıfın üyesi olamaz ve bir paradoxun çıkmasına sebep olur. Bu makalenin başındaki paradox ta aynı tiptedir. Orta okul seviyesindeki tüm öğrencilerin buradaki mantığı anlamaları kolay olmayabilir, fakat böyle çözülmez bir şeyi ortaya koymak en azından onların matematiğe daha ilgili olmalarını sağlayabilir.
"Bir Giritlinin bütün Giritlilerin lerin yalan söylediği" şeklindeki paradoxun modern versiyonu ise bir suçlunun bir suçluya asla güvenilmemesi gerektiği konusundaki uyarısıdır. Bu durumda bu suçluya güvenmek mi güvenmemek mi gerekir? Sınıfta yapılan tartışmalarda "asla" ve "daima" gibi kelimeler tehlikeli zarflar olarak belirlenmiştir.
Yinede paradoxlar matematik ve mantık açısından belalı şeylerdir. Öğretmenlerin mantık paradoxlarını eğlenceli şeyler olarak kullanırken çok dikkatli olmaları gerekmektedir.
Orta okul öğretmenleri matematik dersleri eğlenceli hale getirmek için sık sık ilginç sorular sorarlar. Bu makale bu tür etkinliklerde "ciddi" matematiğinde kullanılabileceğini göstermektedir. Bir grup öğrenci bu amaçla aşağıdaki bulmacayı üretmişlerdir.
Öğrenciler önce ilk iki cümlenin yanlış olduğuna karar verirler. Ama eğer üçüncü cümlenin söylediği düşünce doğru ise cümlenin kendisinin de yanlış olması gerekir. Ama eğer üçüncü cümle yanlışsa, kutu içerisindeki en az bir cümlenin doğru olması gerekir. Bu durumda ilk iki cümle yanlış olduğuna göre, son cümle kendi iddia ettiğinin tersine doğru olmalıdır.
Öğretmenlerin bu tür soruları kullanmaları için pek çok sebep vardır. Matematiksel yap-bozlar sınıfı heyecanlı bir ortam haline getirirler. Her sınıf seviyesine uygun bu tür etkinlikler bulunabilir. Belli problemlerin koşulları ve hedefleri yap-boz şeklinde verilirse öğrenciler çözümü zor olsa bile kolayca anlayabilirler. Bazı öğrenciler bu tür soruları çözemeseler bile, yine de uğraşmaktan zevk alırlar. Sınıf tartışmaları sınıf dışında da devam edebilir hatta öğrencilerin evlerine bile gidebilir.
Bulmacalar
Bulmacaların ana prensibi kelimelerin karmaşık bir şekilde kullanılmasıdır. Genellikle kelimelerle oyun oynamaktır. Kaf Dağı problemi bulmacalar sınıfına girebilir.
Kaf Dağına gittiğimde 7 eşi olan bir adamla karşılaştım. Bu adamın tüm eşlerinin her birinin 7 tane yavrusu olan 7 kedinin olduğu 7 çuvalı varmış. Yavrular, kediler, çuvallar ve neşeli hanımlar... Kaf Dağına giden adam kaç "şey" ile karşılaşmıştır?
Bu sıradan ve alışılmış soruda bile ciddi matematiksel düşünce isteyen yönler vardır. Aslında hedeflenen cevap 1 dir. Çünkü soruyu soran kişi yalnızca 7 eşi olan bu adamla karşılaşmıştır. Öğrenciler bu soruya çok değişik cevaplar verebilirler.
Bu tür başka bir problem ise şudur:
Adamın biri bir portreye bakmaktadır. Yanına gelen birisi kimin portresine baktığını sorar. Adam şu cevabı verir:
Kız kardeşim, erkek kardeşim hiç yoktur. Ama bu adamın babası babamın oğludur.
Burada ilk cümle portreye bakan kişinin tek çocuk olduğunu göstermektedir. Bu durumda adamın babamın oğlu dediği kişi kendinden başkası olamaz. Yani fotoğraftaki adam kendisidir.
Aşağıdaki gibi bazı sorular içinse diyagram çizerek çözüme ulaşılabilir:
İspanyol Carlos ile İtalyan Carl kardeş değildirler. Ama Emine der ki ikisi de aynı soyadı taşımayan erkek kardeşlerimdir. Bunu çözebilmek için bir öğrencinin çizdiği diyagram aşağıdaki gibidir.
Emine
Babamın diğer karısı Annemin diğer kocası
Carlos Carl
Yap-Bozlar
Yap-bozlar zeki problemler ya da oyunlar olarak tanımlanırlar. Aşağıda bir matematik yap-bozu verilmiştir.
Büyük Finalden önce bir futbol takımının üç taraftarı bir otele varmışlardır. Otelde 120 milyon liraya kalınabilecek bir tane oda boştur. Adamlar 40ar milyon verirler ve bu odaya çıkarlar. Adamlar odaya çıktıktan sonra resepsiyondaki görevli fiyatların Büyük Final dolayısıyla 100 milyona indirildiğini hatırlar ve oda görevlisiyle adamların 20 milyonunu odaya gönderir. Oda görevlisi asansörle odaya çıkarken 20 milyonu bu üç kişiye eşit olarak paylaştıramayacağını ve 5 milyonu kendisi alırsa adamlara 5 er milyon vererek eşit paylaşım yapabileceğini düşünür ve 5 milyonu kendine saklar. Böylece otele gelen bu üç müşteri 35'er milyon lira ödemiş olur. Bu durumda adamlar 35 er milyon liradan toplam 35 milyon x 5= 105 milyon lira ödemiş olurlar. 5 milyon lira oda görevlisinin aldığı parayı da düşünürsek 105 milyon + 5 milyon= 110 milyon eder. Fakat başlangıçta bu adamlar 120 milyon ödemişlerdi. 10 milyon fark nereye gitmiş olabilir?
Bu neredeyse paradox sayılabilecek bir yap-bozdur. Burada okuyucu baştaki 120 milyon liranın korunması gerektiği beklentisinin kurbanı olur. Bu yap-bozu çözmenin etkili yolu Polya'nın özel durumlar dediği yöntemi kullanmaktır. Örneğin Büyük Final dolayısıyla oda fiyatları 50 milyon olsun. Bu durumda adamlara geri verilmesi gereken para 70 milyon lira olur. Oda görevlisinin 10 milyonu kendine ayırdığını düşünelim, her müşteri geriye 20 milyon lira alır ve böylece 40 milyon- 20 milyon= 20 milyon lira ödemiş olur. Böylece 3 adam toplam 20 milyon x 3= 60 milyon ödemiş olur, 10 milyon lira oda görevlisine giden parayla birlikte toplam 70 milyon ödenmiş olur. Yine ilk ödenen 120 milyon lirayla ilgisi olmayan bir rakam ortaya çıktı.
Bu yap-bozu anlayabilmeleri için öğrencileri aşağıdaki gibi tablo yapmaya teşvik etmek iyi olur.
| adam | 1 | 2 | 3 | Oda görevlisi |
| İlk ödenen | 40 | 40 | 40 | |
| Geri alınan | 5 | 5 | 5 | 5 |
| Son durum | 35 | 35 | 35 | 5 |
Öğrenciler farklı özel durumlar üzerinde çalıştıkça otele ödenen para ile oda görevlisinin aldığı paranın toplamının 120 milyon etmek zorunda olmadığını anlayabilirler.
Bazen matematik yap-bozları geometri de içerebilirler.
Fransız matematikçi Poisson görür görmez çözdüğü için kendi adıyla anılan aşağıdaki yap-boz ise sistematik bir şekilde oluşturulabilecek bir ağaç diyagramıyla çözülebilir.
İki arkadaşın 8 litrelik bir sürahi içinde meyve suyu vardır. Bu kişiler meyve suyunu eşit olarak paylaşmak isterler. Her ikisinin de boş birer sürahisi vardır fakat sürahilerden biri 5, diğeri ise 3 litre sıvı alabilmektedir. Bu meyve suyunu 4er litre olacak şekilde nasıl paylaşabilirler?
.png)