Sayı nedir?

Sayı nedir? Sayı bir düşünce aracıdır, bir fikirdir. Sayılarla çok farklı eşya kümelerini karşılaştırabiliriz. Sayılar sayma işleminin arkas...

Sayı nedir?
Sayı bir düşünce aracıdır, bir fikirdir. Sayılarla çok farklı eşya kümelerini karşılaştırabiliriz. Sayılar sayma işleminin arkasındaki fikirdir. Fiziksel olarak, bir şey sayılarla ifade edilemiyorsa, bilim değildir. If something exists, it exists in an amount, and it can be measured.
Rakam nedir?
Rakamlar sayıları göstermek için kullandığımız sembollerdir.
Basamak nedir?
Basamak sayıların alfabesidir.
Sayı sistemimizin kaynağı nedir?
Bugün kullandığımız rakamlara Hint-Arap rakamları denir. Hintliler, Mısırlılar, Persler ve Arapların kullanıp geliştirdikleri işaretlerdir. Sayı sisteminin ülke ülke dolaşan tüccarların elinde geliştiği ve böylece de bir çok kaynaktan çıktığı tahmin ediliyor. Fakat en büyük sayıları rakamlar kullanarak ifade eden ilk insanlar Hintlilerdir. (TÜBİTAK tarafından tercüme ettirilip satışa sunulan, Georges Ifrahın Rakamların Evrensel Tarihi ilgilenenlere şiddetle önerilir.)
Sıfır nereden geldi?
Sıfır Hintlilere atfedilir. Onlar sıfırı bugün bizim kullandığımız biçimde kullanan ilk insanlardır. Hintliler sıfırı küçük bir daire ile gösterirlerdi. Bu dairenin adı shunya ("boşluk, boş", Sanskrit) idi. Bu kelime miladi 800lerde Arapçaya sıfr olarak tercüme edildi. İngilizcede biraz daha değişmiş haliyle, zero olarak halen yaşamaktadır.
Bu arada "sıfır=0", "cifir=kutsal metinlerden gematria (ebced), temurah (permutasyon) ve notariqon (akrostiş) usulleriyle okült (batıni, içrek, gizli) bilgiler çıkarma yöntemi, yani gizemin matematiği" ve "cebir=matematiğin bir dalı" kelimeleri arasındaki tesadüf ötesi benzerliğe dikkat ediniz. Halen kullandığımız "şifre" kelimesi bunların birinden ya da hepsinden birden etkilenerek geliyor olmalı.
Bir anda görmek için hepsini tablo halinde yazalım:
sıfır "sıfr" zero 0
cifir "cifr" to cypher veya cipher=şifrelemek
to decipher=şifreyi çözmek, deşifre etmek
chiffre (fr) gematria (ebced)
temurah (permutasyon)
notariqon (akrostiş)
cebir "cebr" algebra "el-cebr" cebir (math)

"+" ve "-" işaretleri nereden geldi?
"+" işareti Latin "et=ve, ekle" kelimesinden geliyor. Bu iki işaret 15. yüzyılda ticari kutu veya sandıkların ağırlıklarının fazla veya az olduklarını göstermek için kullanılırdı. 40 sene içinde muhasebeciler ve matematikçiler onları kullanmaya başladı.
"=" işaretini kim keşfetti?
1557 de Robert Recorde aynı uzunluktaki iki paralel çizginin eldeki diğer şeyler kadar eşit olduğuna karar vermişti.
Mükemmel sayılar:
Kendisi hariç, çarpanlarının toplamına eşit olan sayı. Örnek 28=1+2+4+7+14
Asal sayılar:
Kendisinden ve birden başka hiç bir sayıya tam olarak bölünemeyen sayılar. 2, 3, 5, 7, ... gibi.
1 niye asal değildir?
1 asal kabul edilseydi, herhangi bir sayı, asal sayıların çarpımı şeklinde birden fazla biçimde ifade edilebilirdi. Bu matematikte kabul edilmez.
Asal çarpan:
Bir sayının asal sayı çarpanı.
Bir sayının 0. kuvveti niye 1dir de sıfır veya başka herhangi bir sayı değildir?
Bir sayının sıfırıncı kuvveti 1 olarak tanımlanır, böylece sayının her kuvveti öncekinden bir çarpan daha büyük olur. Yani,
20=1
21=2=2x1
22=4=2x2
23=8=2x4
24=16=2x8 ...
Googol nedir?
1 den sonra 100 sıfır yazılarak elde edilen sayıya bu ad verilmiştir (yani, 10100). Şimdiye kadar isimlendirilen en büyük sayılardan biridir. Googolplex googoldan da büyük bir sayıdır. Bir googolplex 1 den sonra bir googol sıfır yazılarak elde edilen sayıdır. Bu sayıyı yazmak için Dünya-Ay arası uzaklığın yetmeyeceğini iddia edenler var.


Bunları biliyor muydunuz?
• 1729 iki kübün toplamı olarak iki ayrı biçimde ifade edilebilen en küçük sayıdır.
1729=103 + 93 = 123 + 13.
Bunu ilk fark eden Hintli matematikçi Ramanujandır. İlginç olan bu işlemi daha sayıyı duyar duymaz zihninden yapmış olmasıdır. Bu sayıya Ramanujan sayısı denir.
• 9un 9. kuvvetinin 9. kuvveti, yani 999, sadece üç rakamla ifade edilebilen en büyük sayıdır. Bu sayıyı henüz kimse hesaplayamadı. (Siz hesaplayabilir misiniz?) Cevap 369 milyon basamaklı bir sayıdır.
• 1 den 10 milyara kadar olan sayılar içinde asal olan 664580 sayıyı içeren tablolar yapılmıştır. Bilinen en büyük asal sayı 2127 - 1dir. Bu sayı 39 basamaklıdır.
• İnsan saç telinin kalınlığının santimetrenin 3/400 u kadar olduğu tahmin ediliyor. Yani, 133 saç telini yan yana koyarsanız 1 cm olur.
• Brahminlerin (Hindistanda rahipler kastı) sahip oldukları bilgileri diğer kastlardaki kardeşlerinden ve feodal beylerden saklı tutma endişeleri

NOT:
Sitedeki dosyalar üye olmak için öğrencilerin, öğretmenlerin gönderdiği dosyalardan oluşmaktadır. Eğitim ve öğretim amaçlıdır. Bu dosyaların tümünün editörden gözden geçirilmesi yoğun bir emek gerektiğinden, gözden kaçmış olanlar olabilir. Ayrıca bir üyemiz tarafından gönderilen bir dosyanın telif hakkına tabi olup olmadığını her durumda tespit edemeyebiliriz. Böyle bir durumu fark etmeniz halinde dosyanın siteden kaldırılması için dosya adını iletişim sayfamızdan bize iletebilirsiniz. İlgili dosya 48 saat içerisinde derhal siteden kaldırılır.. Telif haklarına gösterilen

MEZOPOTAMYALILARDA ARİTMETİK
Mezopotamyalılarda rakamlar, çivi yazısında görülen çivi yada oduncu kamasına benzeyen şekillerden ibarettir. İşareti 1 rakamını, işareti de 10 rakamını ifade ederdi.
Bu işaretlerin uygun biçimde, yan yana veya büyük sayıları gösterebilmek için toplu olarak veya tekrarlayarak grup halinde yazmak suretiyle 60a kadar sayıları ifade edebiliyorlardı. Bu tür yazım şeklinde, işareti yada işaretinin 0.1 ve 0.01 ile 0.001 değerlerinden hangisini ifade ettiğini anlamak bir hayli güçtü. Bunu anlayabilmek için; Mısırlılarda olduğu gibi metin, konu ve karine yardımıyla sonuç çıkarma yollarına gidilirdi. Mezopotamyalılar da, sıfır sembolünü kullanmamışlardır. Ancak

		İçerik
	1. KAÇA KADAR SAYABİLİRSİNİZ? En büyük sayıyı söyleyebilenin kazanacağı bir oyun oynamaya karar veren iki Macar soylusuyla ilgili bir öykü vardır. Biri "Pekâlâ, önce sen sayını söyle" der. İkinci soylu, birkaç dakika sonra, sıkı bir zihinsel çalışma sonunda düşünebildiği en büyük sayıyı söyler, "Üç". Şimdi düşünme sırası birinciye gelmiştir ama o, bir çeyrek saat kadar düşündükten sonra bırakır. "Pekâlâ, sen kazandın" der. Kuşkusuz, bu iki Macar soylu, yüksek bir akıl düzeyini temsil etmemektedir (2) belki de bu öykü bilerek uydurulmuş bir karalamadır. Ama böyle bir konuşma, bunlar Macar değil de Hotantolu olsalardı gerçekten olabilirdi. Afrikayı bulanların yetkiyle bildirdiklerine göre, birçok Hotanto kabilesinin sözlüğünde üçten büyük sayıların adları yoktur. Ora yerlilerinden birine kaç oğlu olduğunu ya da kaç düşmanını öldürdüğünü sorun, sayıları üçten çoksa yanıtı "birçok" olacaktır. Öyleyse, Hotantolar ülkesinde vahşi bir savaşçı sayı sayma konusunda, ana okulu yaşında ve daha ona kadar sayabilen bir Amerikalı çocukla başa çıkamayacaktır. Bugün bizler, büyük sayıları ister savaş giderlerini kuruş cinsinden, isterse yıldız uzaklıklarını santimetre cinsinden göstermek için olsun bir rakamın sağına yeteri kadar sıfır koyarak yazabileceğimiz fikrine alışmışızdır. Elimiz yoruluncaya kadar sıfır koymayı sürdürebilir ve bilmeden evrendeki atomların sayısından, (3) 300,000,000,000,000, 000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000 ,000,000,000, da büyük bir sayı elde edebiliriz. Ya da bunu kısaca 3.l074 biçiminde yazabiliriz. Burada, 10un sağ üstünde bulunan küçük 74 sayısı 3ün sağına bu kadar sıfır yazılacağını ya da 3ün 74 kez 10 ile çarpılacağını gösterir. Ama bu aritmetik kolaylık, yüzyıllar önce bilinmiyordu. Gerçekten, bu yöntem, iki bin yıl kadar bir zaman önce, adı bilinmeyen Hintli bir matematikçi tarafından bulunmuştur. Bu buluştan önce (biz ayrımsayamıyor olsak da bu büyük bir buluştur) sayılar, şimdi ondalık birim dediğimiz, her bir basamak için ayrı bir işaret kullanarak ve bu basamaktaki birimleri bildirmek için o basamak işaretini gerektiği kadar yineleyerek yazılırdı. Örneğin 8732 sayısını eski Mısırlılar şöyle yazarlardı: Oysa Sezarın sarayında bir sayman aynı sayıyı M M M M M M M M D C C X X X I I biçiminde yazacaktı. Görkemli anıt plakalarında, olay tarihini gösteren Romen rakamları bulunduğuna ve kimi kitapların ciltleri ya da bölümleri hâlâ bu rakamlarla gösterildiğine göre, ikinci yazış biçimi size pek de yabancı gelmeyecektir. Eski insanların sayma gereksinimleri birkaç bini aşmadığından, o zamanlarda daha büyük ondalık basamaklar için özel işaretler bulunmuyordu. Eski Romalı, en iyi biçimde matematik eğitimi almış olsa da, bir milyon yazmaya zorlandığında, bu isteği 1. KAÇA KADAR SAYABİLİRSİNİZ? En büyük sayıyı söyleyebilenin kazanacağı bir oyun oynamaya karar veren iki Macar soylusuyla ilgili bir öykü vardır. Biri "Pekâlâ, önce sen sayını söyle" der. İkinci soylu, birkaç dakika sonra, sıkı bir zihinsel çalışma sonunda düşünebildiği en büyük sayıyı söyler, "Üç". Şimdi düşünme sırası birinciye gelmiştir ama o, bir çeyrek saat kadar düşündükten sonra bırakır. "Pekâlâ, sen kazandın" der. Kuşkusuz, bu iki Macar soylu, yüksek bir akıl düzeyini temsil etmemektedir (2) belki de bu öykü bilerek uydurulmuş bir karalamadır. Ama böyle bir konuşma, bunlar Macar değil de Hotantolu olsalardı gerçekten olabilirdi. Afrikayı bulanların yetkiyle bildirdiklerine göre, birçok Hotanto kabilesinin sözlüğünde üçten büyük sayıların adları yoktur. Ora yerlilerinden birine kaç oğlu olduğunu ya da kaç düşmanını öldürdüğünü sorun, sayıları üçten çoksa yanıtı "birçok" olacaktır. Öyleyse, Hotantolar ülkesinde vahşi bir savaşçı sayı sayma konusunda, ana okulu yaşında ve daha ona kadar sayabilen bir Amerikalı çocukla başa çıkamayacaktır. Bugün bizler, büyük sayıları ister savaş giderlerini kuruş cinsinden, isterse yıldız uzaklıklarını santimetre cinsinden göstermek için olsun bir rakamın sağına yeteri kadar sıfır koyarak yazabileceğimiz fikrine alışmışızdır. Elimiz yoruluncaya kadar sıfır koymayı sürdürebilir ve bilmeden evrendeki atomların sayısından, (3) 300,000,000,000,000, 000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000 ,000,000,000, da büyük bir sayı elde edebiliriz. Ya da bunu kısaca 3.l074 biçiminde yazabiliriz. Burada, 10un sağ üstünde bulunan küçük 74 sayısı 3ün sağına bu kadar sıfır yazılacağını ya da 3ün 74 kez 10 ile çarpılacağını göst

astronomilerinde bu maksatla, özel bir sembol kullandıkları anlaşılmaktadır.
Kaynaklar: çivi yazısından önceki resim yazısı devresine tegamül eden safhada, en eski Mezopotamya rakamları olarak; aşağıdaki semboller kullanıldığını belirtir.
Bugün Kullandığımız Semboller En Eski Mezopotamya Sembolleri İfade Edilen
1
Küçük beyzi bir şekil, yada D harfi
10
Küçük bir çember (yuvarlak)
100
10 sayısını temsil eden çemberden biraz daha büyük çember.
60
Büyük 1 İşareti
600=60x10

3600=602

36000=602x10

Yukarda dikkat edilirse, 1 ve 10 sembollerinin temel olarak alındığı görülmektedir. Öteki 60, 600, 602, 603 gibi rakam sembolleri de, bu iki rakamın gelişmiş ve değişik biçimde gösterilmiş işaretlerden ibarettir. Bundan şu sonucu çıkarmak mümkün, 10 sembolünü düşünmezsek, altmış tabanlı (seksimal) bir sistem elde edilmektedir. Bu gelişimin tedrici bir şekilde yani yavaş yavaş yer almış olduğu da anlaşılmaktadır.
Gerek Eski Mısır ve gerekse Mezopotamyalılar, aritmetik problemlerini çözümünde abacüs adı verilen, bugünkü adıyla hazır hesap cetvelleri kullanmış oldukları bilinmektedir.
BABİL SAYMA SİSTEMİ
M.Ö. 2000 yıllarında Mezopotamyada yaşayan Babillilerin, bilimin çoğu dalında, oldukça ileri bir seviyeye ulaşmış oldukları bilinmektedir. Öyle ki; Babil şehrini zamanın bilim merkezi haline getirmişlerdir. Özellikle matematik ve astronomide çok ilerlemişlerdir.
Babilliler, 59dan büyük sayıları da, basamak düşüncesinden yararlanarak yazdılar. 60 sayısını taban olarak kullandılar. Gruplamalarını 60lık olarak, yani 60x2 = 120, ... şeklinde yaptılar. Böylece ilk kez sayılarda basamak fikrini gösterdiler. Babiller, sayıları yazarken iki tane sembol ve bulunmayan basamaklar yerini doldurmak için de, " : " işaretini kullanmışlardır.
Babil rakamları arasında da, sıfır rakamını gösteren bir sembol yoktur. Rakamları sağdan sola doğru yazarak ifade ettikleri anlaşılmaktadır.
Aşağıdaki tabloda, bazı on tabanlı sayıların Babil sayma düzeninde nasıl yazıldığı gösterilmiştir.
Onluk Sayma Düzeninde 4 12 36 59
Babil Sayma Düzeninde





Babilliler, kil tabletler üzerine "sitilüs" adı verilen tahta parçası ile yazarlardı. Bu tür yazıya çivi yazısı denir. Kağıt yapmayı, henüz bilmediklerinden, kilden yapılmış levhalar kullanmışlardır.
Dört Temel İşlem
Toplama ve Çıkarma
Rakamları (işaretleri) yan yana yazarak yapıyorlardı.
Çarpma
Toplama işlemine benzer, çok yorucu bir yol uyguluyorlardı. Bu kadar uzun işlemlerin zorluğu karşısında, özel çarpma tabloları hazırlamışlardır.
Kesirler
Çoğu zaman kesirler, paydası birim (yani 60) olan sayı ile ifade ediliyordu. Yalnız, çok eski tarihten beri, Babilde 1/3, 2/3, 5/6 gibi bir çok basit kesirlerin kullanıldığı da anlaşılmaktadır.
GREKLER'DE ARİTMETİK
Kaynaklar; aritmetik denilince, temel bilgilerin, Grek dönemi, Roma çağı bilgini aritmetikçisi Diofantos (325-400) ile başladığını belirtir. Gerekçe olarak da Diofantos'un Aritmetika adlı eseri gösterilir.
Bilinen tarihi bir gerçek şudur. Bugünkü aritmetiğin temel bilgilerinin, ilkel anlamda da olsa, Mezopotamyada var olduğu anlaşılmıştır. Fisagor teoreminin, hem özel hem de genel halinin Mezopotamya, Babil çağından zamanımıza kadar intikal eden belgelerde görülmektedir. Tarihçi İskenderiyeli Heronda (?-M.S. 80), Yunan matematiğinde, açık bir Mezopotamya matematiğinin etkisi bulunduğu belirtir. Demek ki. Yunan aritmetiğinde, açık bir Mezopotamya etkisinin izleri vardır.
Konunun diğer bir gerçek yönü de şudur. Yunanlılar, Solon devrinden itibaren, Hıristiyanlıktan önceki yüzyılın ortalarına kadar, sayı yazısı olarak, sayı kelimelerinin ilk harflerini kullandılar. Bu durum Sonucu; birçok birler, onlar ve yüzler meydana getirilmekte, dolayısıyla da, sayı

Pİ HAKKINDA GENEL BİLGİ

Pi Sayısının Tanımı
Eski medeniyetler pek çok çalışmadan sonra bir dairenin çevresinin çapına bölümünün hep aynı olduğunu ) diyoruz. Yani başka bir ifadeyle ki, herpbulmuşlardı, ve biz bu sayıya pi ( zaman 3.1415926… ya eşittir.
Lambert adlı bir matematikçi 1761'de pi'nin irrasyonel bir sayı olduğunu kanıtladı. Eğer bir sayıyı bir oran olarak ifade edemiyorsanız, o sayı irrasyoneldir. Bu yüzden pi basamakları sonsuza kadar giden bir sayıdır ve hiçbir basamak bir düzen içinde tekrar etmez.
1882 yılında Lindemann adlı bir başka matematikçi pi'nin ayrıca üstün (aşkın) bir sayı olduğunu kanıtladı. Hiçbir cebirsel polinomun kökü olmayan sayılara da aşkın sayılar deniyor. Ayrıca bu konu beni biraz aşıyor.

Pi'yi İlk Kim Kullandı?
Bir dairenin çevresinin çapına oranının sabit olduğunu bulan ilk medeniyet Mısırlılardı. Rhind papirüsü (MÖ 2000) adlı bir papirüste pi'nin bir hesaplaması vardır. Aslında Mısırlılar pi'yi bizim bugün yaptığımıza göre daha farklı bir yolla hesaplamışlardı ama buldukları değer pi'ye yakın bir değerdi. Mısırlılar öyle bir kare ve daire aldılar ki, ikisi de nerdeyse aynı alana sahipti. Sonra bu karenin bir kenarının o dairenin çapının 8/9'na eşit olduğunu buldular. Mısırlılar son olarak karenin ve dairenin alanını karşılaştırdılar ve pi olarak 3.16049… değerini buldular.
Mısırlıların kullandığı denklem şuydu:




Bu nedenle,
.
Pi'yi kullanan ikinci uygarlık ise günümüzden 4000 yıl önce yaşamış olan Babilliler oldu. Onlar da neredeyse Mısırlılarla aynı metodu kullandı diyebiliriz. Babilliler bir dairenin içine bir düzgün altıgen çizdiler ve bu altıgenin çevresinin dairenin çevresine oranını kullanarak pi için 3.125… değerini buldular.
Babilliler'in denklemi idi ve bu da bugün kullandığımız değere yakındır.
Pi'nin tarihinde milattan önce karşılaştığımız son kişi Arşimed oldu. Arşimed bir daire çizmiş ve bu daireyi iki düzgün çokgenle sınırlandırmıştı (birini dairenin içine, birini dairenin dışına çizerek). Ve eğer bu çokgenlerin kenar sayısını artırırsa çokgenlerin çevrelerinin dairenin çevresine yaklaştığını gördü.

Arşimed işe düzgün altıgenlerle başladı ve bu altıgenlerin kenar sayılarını ikiye katlayarak 96 kenarlı bir çokgen buldu. Bu sayede pi'nin şu alt ve üst sınırlarını elde etti:

yani


Pi'nin Tarihi Devam Ediyor
Arşimed'den…

Arşimed'den sonra pi'yi bulmaya çalışan kişiMATEMATİĞİN TARİHİ
Tarih Öncesi Çağlarda Aritmetik
Sayı ve biçime ilişkin kavramlarla tanışmamız Yontma Taş Devri'ne kadar uzanır .Yüzbinlerce yıl boyunca insanlar , hayvanların yaşadığı koşullardan pek farklı olmayan bir biçimde mağaralarda yaşadılar .Enerjilerinin çoğunu nerede yiyecek bulurlarsa onu toplamaya harcıyorlardı .Avlanmak ve balık tutmak için silahları , birbirleriyle anlaşmak için konuşma dilini geliştirdiler .Yontma Taş Devri'nin sonlarına doğru da yaratıcı sanatlarla heykelcikler ve resimler yaparak yaşamlarını renklendirdiler .Fransa ve İspanya'daki yaklaşık 15.000 yıl öncesinin mağara duvar resimlerininayinsel bir anlamı olabilir , ama bunun ötesinde de üstün bir biçim anlayışı gösteriyorlardı .
Maden Devrinde ise bunun aksine ticaret öylesine gelişmişti ki , yüzlerce mil uzaklıktaki köyler arasındaki ilişkilerin izleri fark edilebiliyordu .Önce bakırın daha sonra da tuncun eritilmesiyle bu metallerden araçlar ve silahlar yapıldı .Bu da ticaretin ve yeni dillerin daha da gelişmesine yol açtı .Bu dillerdeki nesnelerin çoğunlukla somut ; yani elle tutulur ve gözle görülür nesneleri belirtmesine ve az sayıda olmasına karşın bazı sayısal terimler ortaya çıktı .Benim düşüncelerime göre matematiğin ilk kez ortaya çıktığı çağ Maden Çağıdır .
Ünlü bir matematikçi olan Adam Smith'in "insan aklının ürünü en soyut düşünceler" olarak tanımladığı sayısal terimlerin kullanılmaya başlanması çok yavaş oldu .Bunlar ilk ortaya çıktıklarında bir cismin sayısını değil niteliğini gösteriyordu .Örneğin ; "bir insan" değil sadece "insan" kavramını gösteriyordu .Sayısal kavramların bu niteliksel kökenlerinin izleri hala Yunanca ve Keltçe gibi bazı dillerdeki ikili terimlerde görülebilir .Sayı kavramı geliştikçe toplama yoluyla daha büyük sayılar oluşturuldu :2 ile 1 toplanarak 3 , 2 ile 2 toplanarak 4 , 2 ile 3 toplanarak 5 bulundu .
İşte bazı Avustralya kabilelerinden örnek :
Murray Nehri : 1 =enea , 2 =petcheval , 3 =petcheval-enea , 4 =petcheval - petcheval
Kamilaraoi : 1 =ma , 2 =bulan , 3 =guliba , 4 =bulan bulan , 5 =bulan guliba , 6 =guliba guliba
Zanaatlerin ve ticaretin gelişmesi sayı kavramının netleşmesine yardım etti .Sayılar , ticaret yaparken doğal bir yöntem olan bir ya da iki elin parmakları kullanılarak daha büyük birimlerin içinde gösterildi .Buna örnek olarak şimdiki okullarda okuyan küçük sınıflarda ki çocukların sayma yöntemini verebilirim .Bu olayın sonucunda önce 5 sonra 10 tabanlı sayı sistemleri oluşturulup , bunlar toplama ve bazen çıkarma ile tamamlandı .Böylece 12, 10 + 2 olarak ya da 9 ,10-1 olarak algılandı .Bazen de taban olarak el ve ayak parmaklarının toplam sayısı olan 20 kullanıldı .Yapılan araştırmalara göre Amerikan yerlilerinin kullandığı 307 sayı siteminden 146'sı onluk , 106'sı onluk , onikilik ve yirmilik sayı sistemlerinin karışımıydı .Çoğu kişi tarafından yamyam olarak bilinen Amerikan yerlilerinin bu kadar çok sayı sisteminin olması önce bana biraz garip geldi .Fakat sonra , onların da en az bizim kadar zeki olduklarını anladım .Yirmili sayı sisteminin en tipik biçmi Meksika'da Mayalar ve Avrupa'da Keltler tarafından kullanıldı .
Sayılar kümelere ayrılarak , tahtanın üstüne çentik , ipin üstüne düğüm atılarak ya da deniz kabuklarının beşli yığınlar biçiminde düzenlenmesiyle sayısal kayıtlar tutuldu .Bu yöntemler eski zaman hancılarının çetele tutma yöntemlerine benziyordu .Böyle yöntemlerden 5 , 10 , 20 gibi özel simgelere geçilmesi çok kolay oldu .Benzer simgeler uygarlığın doğuşu da denen yazılı tarihin başlangıcından beri kullanılmıştır .
Yontama Taş Devri'ne kadar uzanan en eski çetele çubuğu 1937'de Vestonica'da bulunmuştur .Bu ; genç bir kurdun 7 inç uzunluğundaki ön kol kemiğiydi ve üzerinde ilk 25'i beşli gruplar halinde düzenlenmiş 55 çentik bulunmaktaydı .Dizinin sonunda , önceki çentiklerden iki kat uzun bir çentik vardı .Yeni dizinin başındaki çentik yine 2 kat uzundu ve bunu 30 çentikten oluşan bir dizi izliyordu .
Böylece , sık sık söylenen "eski zamanlarda sayma parmaklara dayalıydı ." görüşü geçerliliğini kaybetmiş oldu .Yazı olmamasına rağmen Yontma Taş Devrin'deki insanların çetele çubuklarını duymak ilginç gelebilir .Fakat gerçek .
Parmaklar kullanılarak sayı saymak yani 5'erli 10'arlı saymak ancak toplumsal gelişimin belirli bir aşamasında ortaya çıkar .Bu aşamadan sonra sayılar bir tabana göre ifade edildi ve bu da büyük sayıların ortaya çıkmasına yardım etti Cladius Ptolemy oldu. Mısır'da İskenderiye'de yaşıyordu ve MS 150 yıllarında "Syntaxis Mathematica"